用诺贝尔经济学奖的数学模型分析剩女问题

Genius_2010

本年度诺贝尔经济学奖的获得者分别是哈佛大学的埃尔文·罗斯(Alvin Roth)教授和加州大学洛杉矶分校的罗伊德·沙普利(Lloyd Shapley)教授。不过沙普利教授其实是一位数学家，他自称从没有上过一天经济学课程。早年沙普利和另一位名叫戴维·盖尔的数学家一起创立了Gale & Shapley算法，后来该算法被埃尔文·罗斯应用到了经济学领域，但是盖尔在2008年已经过世，否则他也将站在领奖台上。本次诺贝尔经济学奖，就是为了奖励该算法的提出和应用。
　　
　　Gale & Shapley算法是为了解决“稳定匹配难题（Stable Matching Problem）”而提出的，所谓稳定匹配难题，是指：有n个男人，还有n个女人，男人心目中有自己的心上人列表，从最喜欢的女神，一直到最不心仪的恐龙，而女人心中也有相同的列表，从最喜欢的高富帅，到最不喜欢的猥琐男。很明显的，某男喜欢的女人，她可能根本看不上他。而多个女人喜欢的男人，也不可能同时娶这些女人。所以要找出一个让所有人都能结婚，且大家都满意的方案是很难的。
　　
　　为了解决以上这个难题，数学家Shapley和Gale两人在1962年提出了一种特殊的算法，后来被称为Gale & Shapley算法，他们证明了，按照这套算法，他们能够找到一个让大家都满意，且稳定的组合，前提是男女数量相等。
　　
　　算法的第一步，是由男人们一轮一轮的去找他最喜欢的女人表白，女人可以选择接受，也可以选择拒绝。女人会遇到三种情况，第一是没人来表白；第二是有一个人来表白；第三是有多个人来表白。女人的策略是，如果没人来表白就再等一轮，如果有一个人来表白就暂时同他交往着，如果有多个人来表白，就同最喜欢的那个交往。
　　
　　一轮过后，有些男人有女友了，有些还打着光棍，没关系，继续开始第二轮。那些光棍们重复上一轮的行为，找自己最心仪的女人表白。女人会遇到一个特殊情况，自己有男友了，但是又有一个男人来表白。如果新来的男人比现在的差，她就忽略，如果比现在的好，那就劈腿换新人。
　　第三轮再重复第二轮的行为。如此循环往复，一直到最后每个人都成功匹配为止。Shapley和Gale两人从数学上证明了，这种策略的结果是最稳固的。因为男人是从自己最喜欢的人开始追求，当他配对成功的时候，意味着所有他更喜欢的女孩都拒绝了他。而女人如果有机会就可以换自己更喜欢的男人，因此当她配对成功的时候，意味着再没有更好的男人来找她了。所以双方达到了稳定（Stable）的状态。
　　
　　我们发现，该算法对男人（主动出击的一方）有利，对女人（被动等待的一方）不利。因为男人都是从自己最心仪的女孩开始表白，这个策略首先考虑了男人的偏好。相关的数学证明从略。
　　
　　你可能会发现，当n很大的时候，一轮轮的表白游戏会进行无数次，事实也正是如此。常识告诉我们，农村的人结婚通常都很早，而城市，特别是巨大城市的人，结婚都很晚。那是因为农村里你能够接触到的人都很少，即n很小（可能小于20），通过简单的几轮匹配，大家就能达到稳定匹配状态。而大城市如北上广，n巨大（接近无限），你可能会经历无数次匹配都达不到稳定状态。所以并非像广告里说的那样：更多选择更多欢笑。有时候选择更多反而结果更差了。
　　
　　前面我们提到，该算法对男人有利，对女人不利，它优先满足了男人的偏好，因此在北上广这样的特大型城市才会有那么多的剩女存在，她们终生在等待更靠谱的白马王子出现，但其实这位白马王子早就已经和别的女人配对成功（结婚）了，于是其中的不少女人选择了做小三。
　　
　　女人当然知道被动选择策略对自己很不利，于是你会发现越来越多的剩女开始积极主动起来，在大城市每次相亲大会绝对是女人数量远远多于男人数量，别的城市我不知道，至少在上海这个比例通常是7:3，即7个女人对应3个男人，经过主办方的努力，可以达到6:4，这已经是极限了。
　　
　　虽然女人越来越积极主动，但我不得不说的是，女人采取的实际做法完全错了，而且是大错特错。看看人民公园相亲角的征婚广告吧，一个典型的女性征婚广告是这样的：
　　
　　1，没有本人照片
　　2，自身条件很少，只有一个年龄和身高，最多加一个收入，其他没有了
　　3，要求男人有独立婚房【即不能和父母同住】
　　4，要求男人有上海户口
　　5，要求男人有稳定工作，少部分对月薪还有限制，比如至少过万
　　6，某些要求男人年龄不能超过自己5岁，也不能比自己小
　　7，要求男人身高175cm以上

回想一下，在Gale & Shapley算法中，男人是怎么主动出击的？他们从自己最心仪的女孩开始表白，如果被拒绝就换次心仪的，再被拒绝就再换，这样才能真正掌握主动权。而剩女们看似积极主动的策略，其实不过是更加夸张的被动策略而已。她们不管自身条件如何，就把自己的要求定在了一个很高的层级，意思是如果你达不到这些，一切都免谈。这结果就是，根本不会有靠谱的男人来找你。
　　
　　在此，老端准备提出一个“老端猜想”，我预测，在北上广（再加一个深圳）的大龄剩女们，其中有很大的比例，终身无法披上婚纱。但可惜我数学不好，没办法给出数学证明。我承认，这是一个很恶毒很悲观的猜想。不过你也可以这么想：其实，一个人也没什么不好。

fuzhin

分析得不错

Genius_2010

以下是引用zf001在2012-10-17 13:47:35的发言：
Genius_2010 ，最近一年不怎么活跃啊，原来去研究泡妞大法去了啊
貌似也不怎么骂G.C.D了

没啥可骂得，骂他又死不了[em02]

lawrencewu

niu cha!

laopi

LZ成熟了。结婚了吧？

koer006

该贴必顶啊！～～～～～～～～～

wrhao

[em42] 入木四分

walk_feng

有道理。。