有限元方法FEM

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有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法。

    其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一
些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的
节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分
方程离散求解。

    采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

    有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值
模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每
个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总
体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有
单元上的近似解构成。

    根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函
数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来
划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线
性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函
数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数
等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点
上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数
函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

    有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为
拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值
在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和
无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定
义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二
维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维
三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插
值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函
数等。

    对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：

    (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程
初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

    (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干
相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工
作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节
点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

    (3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插
值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各
单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

    (4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；
再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各
节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。

    (5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法
则进行累加，形成总体有限元方程。

    (6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界
条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界
条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按
一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

    (7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的
封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。