Quantum_Information_Theory量子信息论

yhyang

List of figures xi
Nomenclature and notation xiii
I Fundamentals of quantum information 1
1 The physics of information 3
1.1 A collision of ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 What observables are realizable as quantum measurements? . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Overview of the field of quantum information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Overview of the Dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Quantum information, science, and technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Quantum information: fundamentals 19
2.1 Quantum bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Superdense coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Quantum teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Quantum computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 What quantum measurements may be realized? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Experimental quantum information processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Proposals for quantum information processing . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.2 Experimental demonstration of quantum teleportation using NMR . . . . . 36
3 Quantum operations 41
3.1 Quantum operations: fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Quantum operations on a single qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Freedom in the operator-sum representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Teleportation as a quantum operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Quantum process tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 One qubit example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 The POVM formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Beyond quantum operations? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
vii
4 Entropy and information 66
4.1 Shannon entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Basic properties of entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.1 The binary entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 The relative entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 Mutual information and conditional entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.4 The data processing inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Von Neumann entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.1 Quantum relative entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.2 Basic properties of entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.3 Measurements and entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.4 The entropy of ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.5 Subadditivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.6 Concavity of the entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Strong subadditivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Distance measures for quantum information 89
5.1 Distance measures for classical information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 How close are two quantum states? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Absolute distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3 Distance measures derived from fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.4 Relationships between distance measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Dynamic measures of information preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Continuity relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2 Chaining quantum errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4 Alternative view of the dynamic measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
II Bounds on quantum information transmission 108
6 Quantum communication complexity 110
6.1 The Holevo bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Capacity theorem for qubit communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3 Communication complexity of the inner product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.1 Converting exact protocols into clean form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.2 Reduction from the communication problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.3 Lower bounds for bit protocols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.4 Coherent quantum communication complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.1 Coherent communication complexity of the quantum Fourier transform . . 122
6.4.2 A general lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5 A unified model for communication complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Quantum data compression 130
7.1 Schmidt numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 Typical subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3 Quantum data compression theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
viii
7.4 Quantum data compression with a classical side channel . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5 Universal data compression with a classical side channel . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5.1 A dense subset of density operators with distinct entropies . . . . . . . . . 143
7.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8 Entanglement 147
8.1 Pure state entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Mixed state entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3 Entanglement: Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9 Error correction and Maxwell’s demon 163
9.1 Entropy exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.2 Quantum Fano inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.3 The quantum data processing inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.4 Quantum error correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.4.1 Shor’s code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.5 Information-theoretic conditions for error correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.6 Information-theoretic inequalities for quantum processes . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.7 Quantum error correction and Maxwell’s demon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.7.1 Error-correction by a “Maxwell demon” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.7.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10 The quantum channel capacity 188
10.1 Noisy channel coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.2 Classical noisy channels in a quantum setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.3 Coherent information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3.1 Properties of coherent information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3.2 The entropy-fidelity lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.3.3 Quantum characteristics of the coherent information I . . . . . . . . . . . . 194
10.3.4 Quantum characteristics of the coherent information II . . . . . . . . . . . 196
10.4 Noisy channel coding revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.4.1 Mathematical formulation of noisy channel coding . . . . . . . . . . . . . . 198
10.5 Upper bounds on the channel capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.5.1 Unitary encodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.5.2 General encodings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.5.3 Other encoding protocols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.7 Channels with a classical observer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.7.1 Upper bounds on channel capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.7.2 Relationship to unobserved channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.7.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
ix
III Conclusion 217
11 Conclusion 219
11.1 Summary of the Dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.2 Open problems in quantum information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.2.1 A unifying picture for quantum information . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.2.2 Classical physics and the decoherence program . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.2.3 Quantum information and statistical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.3 Concluding thought . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A Purifications and the Schmidt decomposition 227
Bibliography 231
Index 244
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