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Contents
1 Basics 5
1.1 Trace and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 The Special Case 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Derivatives 7
2.1 Derivatives of a Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Derivatives of an Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Derivatives of Matrices, Vectors and Scalar Forms . . . . . . . . 9
2.4 Derivatives of Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Derivatives of Structured Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Inverses 15
3.1 Basic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Exact Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Implication on Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Generalized Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Pseudo Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Complex Matrices 19
4.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Decompositions 22
5.1 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Triangular Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Statistics and Probability 25
6.1 De nition of Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Expectation of Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Weighted Scalar Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Gaussians 28
7.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.3 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.4 Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 Special Matrices 34
8.1 Units, Permutation and Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2 The Singleentry Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.3 Symmetric and Antisymmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.4 Vandermonde Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.5 Toeplitz Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.6 The DFT Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.7 Positive De nite and Semi-de nite Matrices . . . . . . . . . . . . 40
8.8 Block matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9 Functions and Operators 43
9.1 Functions and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.2 Kronecker and Vec Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.3 Solutions to Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.4 Matrix Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.5 Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.6 Integral Involving Dirac Delta Functions . . . . . . . . . . . . . . 48
9.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A One-dimensional Results 50
A.1 Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.2 One Dimensional Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . 51
B Proofs and Details 53
B.1 Misc Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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