在无线单元和Ad Hoc网络中的资源配置中对QoS和适当约束进行凸规化最优化

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对于无线单元和遵循QoS 协议的Ad hoc网络，我们希望通过一些问题的方式来分配网络资源，使SIR得到最优化，即最大的生产能力和最小的延迟。这些资源配置方式区别于其他的特性是指通过应用凸规化的最优化来调节多种现实的QoS和清晰的约束。他们全局的最佳解决方案是通过多项式与内部的分数相乘的方法能被有效地计算，尽管他们是非线性的，并且有限制。
   通过对无线单元网络中功率的控制，我们优化了SIR，延时了详细的QoS种类，隶属于所有其他的QoS种类的QoS约束。因为在无线的ad hoc网络中存在多次反射传输和Rayleigh衰减，我们最优化了各种各样的因素，例如全部系统的生产能力，在激励上隶属的约束，储运损耗的比例，数据传输率。这些因素也能被用于控制允许和相关定价。在凸规化的最优化框架下，均衡发展和最小修改都能被实施，同时这里的修改参数也能被QoS标准最优化。通过凸规化的最优化工具能进行简单的启发和测试。

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在无线单元和Ad Hoc网络中的资源配置中对QoS和适当约束进行凸规化最优化
David Julian, Mung Chiang, Daniel O’Neill and Stephen Boyd。
摘要：
   对于无线单元和遵循QoS 协议的Ad hoc网络，我们希望通过一些问题的方式来分配网络资源，使SIR得到最优化，即最大的生产能力和最小的延迟。这些资源配置方式区别于其他的特性是指通过应用凸规化的最优化来调节多种现实的QoS和清晰的约束。他们全局的最佳解决方案是通过多项式与内部的分数相乘的方法能被有效地计算，尽管他们是非线性的，并且有限制。
   通过对无线单元网络中功率的控制，我们优化了SIR，延时了详细的QoS种类，隶属于所有其他的QoS种类的QoS约束。因为在无线的ad hoc网络中存在多次反射传输和Rayleigh衰减，我们最优化了各种各样的因素，例如全部系统的生产能力，在激励上隶属的约束，储运损耗的比例，数据传输率。这些因素也能被用于控制允许和相关定价。在凸规化的最优化框架下，均衡发展和最小修改都能被实施，同时这里的修改参数也能被QoS标准最优化。通过凸规化的最优化工具能进行简单的启发和测试。
索引-Ad hoc Networks，Cellular Networks，Convex Optimization，QoS Constrained Resourse Allocation，Fairness.
Ⅰ绪论
当通信网络用户在最大的传输条件下不再满意时，服务的质量（QoS）就会是个很重要的研究和商业问题。QoS覆盖了网络特性中很宽的范围，包括带宽、延时、信息包传输的担保。声音、数据、图象、视频要求要有不同的带宽。传输的一些种类，如声音对延时要比其他种类敏感，如数据。
在一个无线网络中对QoS的规定由于时间变化在实际上是一个很困难的问题，是个不可靠的物理通道。在QoS和适当约束下我们提出了一个新的关于凸规化最优化的框架，它在资源配置中作为一个有效率的计算工具，包括资源控制和允许控制。
在无线单元网络中，资源控制能被用于控制冲突，那样做了以后，对QoS的间接控制就能被网络中的用户了解到。在下行线中，一个易变的用户能接收到妨碍在邻近通道冲突中置邻近单元解决中基础位置形式的传输。在上行线中，一个基础位置实验，它来自邻近单元中用户的邻近通道冲突，也是CO通路冲突。信噪比（SIR）通常被用于捕获CO通路与临近通路冲突二者的影响。在本章中是被用于描述一个精确连接的生产能力的QoS参数，参考[10]，Ⅳ和Ⅴ部分用公式描述了下面关于无线单元网络的问题P1到P3，显示了用凸规化最优化技术能解决他们。
P1：决定一系列SIR要求的可能性
P2：针对特别要求的用户的最大化SIR，其他用户在QoS是低限度的
P3：在不同的QoS种类中让用户得到满意的等待延时要求
Ad hoc无线网络的形成对QoS支持提出了额外的关于技术方面的挑战。不同于单元无线网络Ad hoc无线网络没有单元和基础位站，但是由一系列节点组成来传送、接收、互相传播信息。信息包在网络中传输是通过从一个节点到另外一个节点的多次反射，最后中止于目的地。为了实现从源地到目标的跳跃，从而用户的QoS要求被转化成一系列QoS链接要求。从单元网络到ad hoc和我们工作的延伸的结果在[7]，在VI和VII部分解决了下面关于网络的多级跳跃的问题P4到P7：
P4：决定最适宜的对能源控制，扩充到全部系统生产能力的稳定性，该稳定性是由在一个盲区的环境中用QoS担保的
P5：决定在网络资源约束下整套服务协议（SLA）的可行性
P6：用于通过最优化能源、生产量和SLA条件解决最小化全部传输造成的延迟，延迟是由于用更多时间来感觉传输范围时造成的
P7：最大化网络中没有用过的空间
除了在运行中最优化以外，在QoS规定中，清晰度是另外一个重要的点。我们显示均衡清晰度和极值清晰度二者在凸规化的最优化框架中能被描述出来。清晰度参量和QoS标准接合点的最优化也能在被提议的框架下实现。
这篇论文统一了和扩充了我们在单元网络［１０］中和ad hoc网络［７］中的工作。另外在一个框架中把结论统一起来，这样产生了下面的新的扩充。在ad hoc网络中允许控制和定价用观念的一个仿真被详细地描述，在几何程序框架中延迟约束是被定了地址。另外，清晰的势力被扩充到了非整数的情形中，显示出势力能被用于最优化变量。最后，两个描述了两个有启发性的例子，举例说明凸规化最优化的表达能被用于作为与执行相反启发进行对比的基准。
Ⅱ相关工作
作为在无线网络中资源配置一个重要的特殊情形，单元网络的功率控制已经被大范围地接受了，多种配置在2G和3G网络中已经被提出或采纳。例如，经典的QUARCOMM功率控制被用于解决在CDMA网络中由近到远的问题。在Ⅳ部分，我们展示了功率控制安排的细节，它是一个被提议的普通凸规化最优化框架。
已经提出多种迭代方法用来使最小的SIR达到最佳化，最小化整个或分离部分的功率，或最大化[1]、[3]、[4]、[6]、[8]、[9]、[13]、[15]、[18]、[19]中的生产量，但这些方法在允许一个不同的QoS约束系列和其他目标函数方面不够全面。我们提出了一个新的资源配置的框架，是基于计算的功率和凸规化最优化的多样性，它达到了在达到全球性的最优化的效率和允许不同的约束之间、目标、多样性的平衡。
一个类似的想法已经被用于在Rayleigh衰减下单元网络中最小化储运损耗的可能，在[11]中没有QoS约束。我们展示了凸起最优化框架能被用于合并许多QoS约束和目标，不仅仅针对单元网络，还用于ad hoc网络。
Ⅲ凸起最优化和几何程序
我们需要有效率的运算法则来发现最优的解决方法来解决非整数问题P1到P7。幸运的是，这些问题能被转化，用凸起最优化表示，用有效率的多项式时间运算法则，例如最初的双重内部点方法。
凸起的最优化参考最小化在凸起约束系列上面的凸规划目标函数。我们用的凸起最优化的细节类型是以几何程序的形式。[5]。几何程序聚焦在单项式和多项式功能。
定义1：一个单项式是一个函数f：Rn→R，这的范围包含了所有的实数向量和非整数部分：
     （1）
定义2：一个多项式是指许多单项式 用下面的形式，几何公式成了一个最优化问题：
最小的                属于             （2）
                                              这里的 和 是个多项式， 是单项式 。在上面的几何公式不包括凸规划最优化问题。但是，随着一系列变量： 和 ，我们就能把它变为最优的形式：
最小化   属于                   （3）
它能由把一系列指数和的对数的最优化函数验证得到。因此 起着凸规划功能， 起着仿真功能，我们就有了一个凸规划最优化问题。注意：如果所有的多项式在实际中是由单项式构成，那几何公式就变成线形的公式。
凸规划最优化问题也能在全局中通过内部点最初的双重方法[14]有效地解决，多项式运行的次数是 ，这里的 是问题的大小。除了计算的效率外，凸规划最优化也提供二元性的判断，稳定性分析和容纳多种约束。解决方案的运算法则也明白和有效地确定了可行性。这篇论文展示了几何公式怎样解决很多版本的QoS规定以及在无线单元和ad hoc网络中的资源分配。
Ⅳ  无线单元网络中生产的最优化
A：问题格式
在本章中，在无线单元网络中我们首先考虑功率控制。对于简单的符号，本章考虑用单个基础的形式和N链接，扩充到多重基础的形式，相关的链接是一直向前延伸的。从发射器到接收器的每一个链接是单向的。在本章中，传播的形式如下：
   （4）
这里的 是接收器的功率， 是传输的功率， 是传播通道的长度， 是对天线覆盖范围而言的一个参考距离，通常的取值要使标准常量 等于1。通道遗失指数 通常取2到6，来适应大多数的室内和室外环境。通过倒转 使妨碍用户的能量被衰减，这样对一个CDMA系统能分散增益，或对一个FDMA系统能量随着频率下降而下降。这样，为 链接的 定义如下：
    （5）
这里的参数 的提出是为了适应标准的常量和其它因素，例如，在多重天线系统中柱子构成的影响。 是为了证明被用作一个生产量QoS参数是合适的。例如，在对高 取对数时通道容量比例，在连贯的MPSK和MQAM中符号译码错误的概率近似为 ，这里的 和 依赖于调制类型， 的功能是补充高斯CDF。
最大化的问题能被作为几何公式来阐明。在随下的基础公式中，为了一个详细的变
化的 ， 被最佳化了。同时，其它易变的QoS也应该满足特定的要求和约束。下面的四个类型的约束在下面1的表达中被反映出。
1） 在索引设定中由于用户的冲突，包括基础配置和变化的东西， 一定要比实际
的常量 小一些，因为它们分配的QoS的价值相对来说低一些。
2）在索引设定中由于用户的冲突， 为一些变化的 必须比接收到的信号功率小一些，从而得到要求的 。
3）为了一些变化的 ，接收到的信号的功率一定要与实际的常量 相等。
4）做为经典功率控制计划的一个特殊部分，该计划是为了解决在CDMA中从近到远的问题，为了一个变化的 ，接收器的信号功率需要与另外一个变化的 相等。随着目标和约束，
这样，公式表达和上限 ，包括在所有的传输功率 ，我们获得如下的非线性的最优化公式：
公式1：（SIR被功率控制的最优化约束）在一个单元网络中为了其他的用户，下面关于最优
化节点功率到为了一个特殊的在QoS约束下的用户最大化 的非线形问题，它是个凸规划最优化问题。
最大化    属于  
                                              这里的第一次四个约束是为了在适当的索引设定中所有的 。当目标函数不是多项式，它的反转 和最小化的 覆盖了同样的约束，它们与原始问题是等价的。不等价的约束包括多项式，在参数 和 中，能被单项式分离的多项式是必要的多项式。这个等价的约束在同样的参数中是单项式。变量是被发射的功率 。这样，它确实是一个几何公式，这样一个凸规划最优化问题用和有效率的运算法则就能获得球形最优化。
这个一般的表述能被用不同的功率控制位置支持。例如，如果没有目标函数，上面的表述减少一个 要求可能性问题。另外，在下面的表述中，目标函数能被“最小化 ”代替，那么在QoS约束下最小的功率矢量能被探测到。
表达2：（对最小化的功率的 约束最优化），下面的在一个单元网络中关于最小化能量配置的非线形的问题是一个凸规划最优问题。
最小化    属于在表达1中同样的约束    （7）
另外，一个有利的数目或功率，又或最大化的用户功率能被最小化。为了天线区域的最优化， 也能被做为最优化的变量来处理，对缓解冲突方面这种方法是比较流行的技术。
B．QoS约束功率控制的说明
对数-指数函数能被作为最大化函数[5]的一个平滑近似来阐述：
这样，以上功率控制的凸规划最优化是
最大化中最小化的一个平滑近似。当 时，对于功率（用dB测量）中的差异及为了用户 和 距离（也用dB测量）中的差异，这是一个很有用的数目。
这个双重问题是个无显著特点的最大化[5]的平均信息量。通过二元性分析，它用最大化的有利的平均信息量显示解决 QoS约束功率控制的问题与找到拉格郎日函数的线形合成器是等价的（扩展的目标函数），这的重要性是由这个双重问题的约束引起的。
C.呈比例均衡和极值化公平延伸
在QoS政策中公平是另一个主要的问题。在几何程序的框架中，均衡公平和极值的公平二者能被调节。
表达3：（均衡公平的SIR约束最优化）
下面的在一个单元网络中有利于公平资源分配的非线性问题是一个凸规划最优化问题。
最大化  属于与在框架1中同样的约束
为了普通的 ，功率控制的延伸看法在几何程序格式中仍然是一个凸规划最优化问题，因为最大化 与最大化 是等价的，这里的最大化 与最小化 等价。因为多项式的乘积还是多项式，如果分量 是整数，那目标函数和约束二者是多项式。
一般地，多项式转到非整数能源不能在几何程序框架中处理，这个问题的结构允许非线性分量。辅助变量 被提出，目标函数变化到最小 ，对所有的 来说，约束 加到已经设定的约束中。现在最优化变量是 和 ，在最优化变量中目标函数和约束是多项式。更进一步，目标函数的值和最优能量是与原始表示一样的。
最小化的 也能最大化通过凸规划最优化为其他的用户的 约束问题。这个极值的运算法则在解决涉及到最坏情况的地方是有用的。
表达4：（ 约束最优化和极值公平原则）
下面的在一个单元网络中关于极值公平能源配置的非线性问题是一个凸规划最优化问题。
最大化  目标   与表达1同样的约束
这是一个几何程序问题，因为最小化 与辅助标量 的最小化是等价的，例如 依次等于最小化 ，象 。这样辅助变量充当在所有的 的一个上限。当最小的超过所有可行的 ， 的值会减少到一个极值。
D. 最优化仿真
一个由五个用户组成的简单系统对表达1的仿真是有用的。如下建立。第一，五个用户在的位置如下，离基本位置的距离 依次是1，5，10，15，20个单位。功率离散系数 ， 。每个用户有一个功率约束的最大值， ，对所有的用户噪声功率是 。应用  是在延伸的增益为 情况下。所有用户的 ，超过了我们最优化的用户，一定远大于 水平 的公共极限。 是评估优化用户的 效果的变量。在 的用户附近是独立做的，在 的用户有一个媒介，在 的用户最远。结果表示在图1。
通过这次仿真，在插图上有几个有趣的结果。第一，当对没有最优化用户的 极值的要求是高的时候，是没有可行的功率控制解决方案。在中等的 极值上，当 被减少时，最初的优化 会很快地增加。这是因为它允许通过减少其他四个用户的功率来增加自己的功率，噪声相对来说是无关紧要的。在极限 的低端，噪声变的很重要，与其他用户的功率平衡就不重要了，于是曲线就更弯曲了。最后，最优化的用户达到了功率的上限，不能再利用由极限 的低端传送的额外能量。这样，在这段期间，在最优化 中仅有的增益是通过其他用户传输的较低的能量得到的。通过在图形中明显的弯曲表明比倾斜的弯曲更浅了。我们也能得出结论；在约束设定最远距离的用户的指令是可行的。
E.允许控制和定价
如对以上仿真的阐述，表明凸规划最优化也能被用于在无线通讯网络中的允许控制。当一个这个存在的几何程序有一个可行的解决方案时，一个新的用户才仅仅被允许进入网络。
增加一个新的用户对系统的影响结果是用于确定用户的价格。在这个观念用于掌管较多的用户，他们消耗着整个系统用户容量中更多的东西。与固定的 系统不同，允许一个新的用户的结果是很严重依赖新用户的 要求。有高 要求的用户在减少系统用户容量方面要大于对用户 要求的比较容易的支持，更多地是相称。例如，一个用户追求的接近于一组中其他用户的高传输数据率将更多地从反面影响用户的容量，通过干扰和功率限制，而不是一个用户在一个低干扰地区追求一个较低的数据率。
在容量上的影响可以用几何程序来建模，通过定义标准用户数目，他们能加入在允许新的用户增加之前和之后的系统中。在这两个数目之间的不同点能被拿出来减少在系统的用户容量，以用来往系统中增加新的用户。这个价格能通过这个不同点的线性变化来被设定。
下面的方法中，依靠当用户追求网络的通道时在系统中现存的负载，一个用户能体验到在不同时间不同地点的费用。从基于价格方法的当前的数据率来讲，不同地点的费用是不同的，在网络中从潜在的税收方面入手，则对一个用户的影响的建模会有更多的实际意义。
Ⅴ.对无线单元网络中的等待延时的最优化
在一个无线单元网络中延时是 的一个重要部分。全部延时有三个主要部分：传播延时，发射延时，等待延时。等待延时对脉冲数字量有独特的重要性，传输的数据率在短时期内可能超过无线连接所能支持的数据率。缓冲是用于这种短时期的不平衡。这个等待延时在合理的连接数据率时能支配传播延时。
假定信息包是通过平均分配到达的，信息包是长度变量，系统能用 等候来建模。平均等待延时， ，如下表示
这的 作为连接传送率，或是服务率， 是接收率。
如果一个 协议指定一个平均延时限度 和平均最大的接收率，这个限度能在这个连接通过 约束超过一个最小的极限，这样连接发送率就由调制类型和 决定，而且远大于 。
Ⅵ.在无线 网络中的对生产功率控制的最优化
在这一章，我们转向在无线 网络中多次反射的功率控制。我们将会更深层次延伸表达的部分，在下一章是更普遍的资源分配设定。
在这一部分中用的表述明确地提出了接收的信号及多次反射网络中的反射功率在统计上的变化。
A.    多反射网络模型和 衰减
用 发射/接收对来考虑一个无线 网络，标号 ，发射功率是 。从发射器接收的功率是 ，在接收器 由以下给出：
非负数 表示缺乏从 发射器到 接收器的衰减时的通道增益。 能包含通道泄露，屏蔽，天线增益，代码增益及其他因素。
在每个发射器 和接收器 之间的 衰减由 给出。 ’s被假定为是独立的，是个体的平均数。 ’s用适当的比例来反射这种假定的变化。在任何一对发射器 和接收器 之间的接收器功率的分配是平均值的指数，
对用户 的冲突比率的信号 现在变成
B.    储运损耗比例和系统吞吐量
由于多次反射传播有很多不可靠的连接，在无线 网络中储运损耗的比例是一个重要的 参数。储运损耗当接收的 降到给定的极限以下时就被公告，极限如 定义，而且经常由一个 要求来估算。在高功率干扰受限制的情况中，忽略这个噪声，储运损耗的比例与 级越相关联， 级越如下：
储运损耗比例如 所表示
在 上的储运损耗比例感应了一个在通道 上的储运损耗比例
通过 来应用的这些尺寸 能更靠近 调制。如下所示
这的 是位错误率。定义 ，用一个单调变化的表示来 的数据率，来作为接收的 的函数：
系统的合计数据率能由这种类型的一系列期限表述
这样生产能力的最大值是等于 乘积的最大值。他们也能通过在 中的 和 被观察到，他们用它在单元网络中对生产能力进行最优化处理。所有系统的生产能力现在定义为最大化的总数据率，是由通过定义的 及一些用户给定的系统支持的。
C.    生产能力的最优化
表达5：（对生产能力最大化的最优化功率）下面非线性的问题是一个凸规划最优化问题，这个问题是关于最优化用户节点功率，及最大化整个网络容纳能力。
这个目标函数是一整个系统的生产量。在这个实际的最优化多项式中目标函数 是被最小化了的；如前所示，等于系统生产能力的最大值。现在最优化了的目标函数超过了对所有可行的功率 的设定。
第一个约束是数据率，由已经存在的系统用户要求的。第二个约束是储运损耗比例限制，由应用单个 的用户要求的。第三个约束是对应用一个多级通道的用户的储运损耗比例的限制。最后，第四个约束是在传输能量上的调整或系统限制。
D.    生产能力的最大化仿真
在下面的仿真中考虑了一个简单的四节点多级网络。如图2所示，这个网络由四个节点 和四个联接 组成。在联接 上节点 是发射器，节点 是接收器；同样，每一个联接的发射器和接收器节点如图所示。标记节点 是联接 和 二者的发射器，说明：一个节点可以是任何联接的发射器或接收器。节点 和 相距 ， 和 一样。这样每个发射通道的几何距离是 。
我们的仿真中，每个联接最大的发射功率是 。相对地，我们也能通过增加约束 来设置功率约束从而代替每一个联接。所有的节点都用 调制。每一个联接的基带带宽是 ，每个联接维护数据的最小数据率是 ，目标 是 。对 衰减，在 极限是 时我们要求储运损耗的比例是 。每个联接的增益计算如下： ，这里 ， ，除了我们设定 和 等于 ，这样，我们假定在同一时间内一个节点不能是发射和接收。 这个系数能在一个 系统内作为扩展增益来定义，或是在一个 系统中能量随着频率而下降。下面给出了增益的矩阵：
用几何程序最优化的方法，我们发现最大的综合数据率是 ，对每个联接， 调制， ， ， 联接发射功率。每个联接上的结果是 。在调制标准中的对称和 是由于在网络拓扑中的对称造成的，而不是由于外在的最优化约束。
E.    允许控制和价格
在这一部分中，允许控制和一个可能的途径靠近接受的价格。在Ⅳ E，一个新的用户如果他的 要求能被系统支持，并且不影响当前的用户那他就能被接纳进来。这种模式中在一个新的用户的 约束已经加入后如果在表达5中存在的问题能有一个可行的解决方法，就可以接纳一个用户。
在Ⅳ部分的价格讨论中，通过消耗在遗失将来的用户容量中的系统等于标准用户的数目的情况下，一个新的用户会被接受的。从经济学角度上看这个方法是指机会成本关联和一个新的用户服务。
应用多级网络的观念是简单的，但是对应用的机会成本有不同的测量。在一个多级网络中，一串信息包的通道，不仅仅是它的 ，连带确定它在网络中的影响。这样，机会成本就会通过整个网络作为传送容量的遗漏，来支持新的用户。当一个新的用户加入系统时，系统支持的增加数据传输量的能力下降了。机会成本能在多级网络中通过减去系统的最大数据传输容量来被评估，在每秒的比特数中，在系统加入一个新的用户后，而且是在用户加入系统之前从容量上的。用在多级表述中的目标函数应用的价值正好是网络的最大的合计数据率。
F.    定价仿真
在Ⅵ-D以上的部分中对允许控制和定价仿真方面的考虑。最初，系统没有用户和 约束，象先前那样设定。这样基于最好的传输效果当前的用户数据能被允许传输和定价的。三个新的用户 ， ， 将按次序到达系统。 和 要求 ，发射是沿着上面的通道 ，而 要求 ，发射是沿着上面的通道 。三个用户要求储运损耗比例小于 。当 到达系统，最优化和他的 要求与没有要求的情况下同样的解决方法，这样他的价格是基线价格。下一个， 到达，他的 要求减少系统的最大容量，使之从 降到 ，这样他的价格是基线价格加上在系统容量中许多成比例的变化。最后， 到达，他的 要求没有可行的解决方法，这样他不被允许加入系统。
注意的是当用户到达时价格管理是系统要求的一项功能。如果 在 之前到达， 的费用将减少， 的费用要增加。同样，如果 在 之前到达，他将被系统确认为基线价格，但他在 之后到达，则他的价格确切是无穷大。
Ⅶ.在无线 网络中延迟的资源配置和效率的最优化
在这一部分，从资源配置的一般远景来说把多级网络进行了加工。资源包括能源，服务的每个种类流动的数目，带宽和每个联接的容量。通过最优化传输延迟的标准、未用容量和所有系统生产量，资源被重新分配。
A.    仿真的问题
从 联接和每一个联接 中每秒 信息包的容量方面考虑一个网络。这里有 个系列在不同的 要求下的传输来在网络上传送。对每个 的系列 来说，带宽要求是 ，在服务标准协议（ ）中的延迟担保是 秒。首尾相连，整个延迟由传播延迟、发射延迟和等待延迟组成。在Ⅴ部分中在等待延迟中的补充讨论，在这一部分，我们假设发射延迟在 网络中占支配地位。在 中穿过不可靠的网络时递送信息包的最小可接受比率是由 表示的。
对于最后的部分是类似的，通过在网络中用的具体的行程协议使从源头 到目的地 的每一串传输将穿过某个特定的联接作为指令。通过 表明用联接 来设定传输和由 通过 系列 来设定联接传输。通过 可以表示在 系列传输中允许动力信息包的数目。
在一个 网络中，每一个联接由于一个节点离开了网络或由于储运损耗 作为概率来定义了，这样在传输期间，这个联接将会维持的而导致失败。注意的是通过在一个联接 上增加发射器的功率，同时保持其它网络参数不变，联接 的 能被增加的。因此，联接 的储运损耗的比例将会减小， 将会增加。这样通过最优化变量 得出了功率控制。第六个表达如下：
表达6：（在网络约束下 的可行性）下面关于测试 可行性的非线性的问题，是一个凸规划最优化问题。
最小化  没有目标函数
属于   在测试 的条款 和 的可行性时，没有目标函数是必须的。注意的是第一个约束是联接容量约束，第二个是延迟担保约束，第三个是递送比例约束。第四个约束给每一个传输系列递送一个担保数据率。第五个约束为 条款留有余地，这样给定了一个运输单个权利序列来传输一个联接 。这些能为带宽要求和为安全原因提供虚拟的安全网络。第六个约束允许为 条款不仅仅指定一个首尾相连的整个延迟担保，而且为在一个联接 上的特殊传输序列 有一个精确的延迟要求。其他的约束在变量上、 上的上限约束方面是积极的。
下面的参数能变成在最优化中所有适合的变量： 和 。变量 和 是在 中的条款。联接容量 和维修一个联接 的概率使网络资源被优化。允许控制在 中体现。
在第七个表达中，一个特殊联接 中没有用过的容量是最佳化了。这个联接可能是瓶颈联接或在网络中多数经常用户多的联接的容量是缺乏考虑的或是有重大价值的。
表达7：（为用过容量的最佳化）下面的在 和网络约束下最佳化未用容量的非线性问题是一个凸规划问题。
最佳化          属于    目标函数是通过保持在所有网络和 约束下用的容量到最小化来最佳化一个联接 中未用的容量。这个约束与表达6的是一样的。
在表达8中，为传输的一个特殊序列的整个延迟被最小化了。
表达8：（有利的联接容量和延迟最小化）下面关于在 和网络约束下最小化传输延迟的非线性问题是一个凸规划最优化问题。
最小化          属于    这里的 是为延迟的容量的边缘权衡系数。在相对花费 下通过动态带宽分配或带宽减少使在每一个联接上增加可用的容量，多数时间对 的序列敏感的延迟能被减少。
B.    联接容量和最低延迟仿真
这次仿真是研究在延迟和在表达8中容量的费用二者之间的平衡问题。在图3中的网络有三个传输序列。第一个序列是数据传输，依次顺着通道 发送，要求传输率是50个信息包/秒，最大的延迟是0.2秒。第二个序列也是数据传输，以同样的速率和延迟要求依次顺着通道 发送。第三个序列是传输声音，依次顺着通道 发送，要求的传输率是250个信息包/每秒。由于遇到在所有的传送系列和在数据传输上的延迟约束上的速率限制，我们通过最小化一个有利的声音传输延迟的数目和整个用的容量完成它。对于每一个 值，这个在延迟和容量之间的边缘平衡参数，我们发现为了声音传输获得的最小的延迟如图4所示， 轴是 比例。折中曲线显示最小的延迟快速增加，同时容量的费用也在增加，直到与延迟相关联的，能支持声音信号的最小容量要求为止，在折中曲线上面的点是平坦的。
C.    扩展
许多扩展能由表达6到8来完成。一个扩展是极小化对用户的最大传输延迟。另一个扩展是清算在节点的等候延迟。表述、试验和解释分别在部分Ⅳ 和Ⅴ中都是类似的。
另一个扩展是有利公平表述，也能通过几何程序来解决。当均衡公平的有利条件是变化的，这个有利的参数能变成变量的形式，这样公平和 标准能用几何程序共同被最优化。这是基于观察被修正的目标和约束函数多项式的形式；这样保留了几何程序框架。在每个用户的负担上和在用户群中资源配置之间，解决这些问题将有一个全局性最优化的折中。
Ⅷ.简单的启发
尽管几何程序在内部点计算上是有很高的效率，在多项式的时间内发现全局最优的解决方法，在一些实际的系统中是希望得到不合适的简单启发甚至是较低的计算负载的。在这一部分中，我们简要地描述两个为一些表述的启发。现在在启发的确认和测试方面，几何程序变成一个有效的工具。
A.    一个单元网络的启发
在部分Ⅳ中应用几何程序表达作为确认启发的一个有效的工具，我们发现下面的简单启发用表达1中一个小的不合适的漏洞能很好地被执行。用从在联接 上的发射器到在联接 上的接收器的整个通道的遗失 表示，考虑了所有的因素除了能量：
这里的 和 分别是距离，通道遗失指数，从在联接 上的发射器到在联接 上的接收器的标准化常量。通过 表示 的平均值，此时 。这个约束的设定作为一个在 和 方面不平等的系统能被重写。让用户 的 在这个约束设定下使目标函数被最大化。为这个启发，设定 为它的最大值 ，通过把不平等的系统转到平等的系统，使所有的约束能起作用。 要求的可行性能在分析后决定，如果可行，平等的系统能容易地解决 。取代这个进入 的能量设定的结果， 的能量设定是由这个启发下由为用户 最大化的 给定的。注意的是为这个启发计算的负载是非常小的。
从仿真中的经验结果来看，在为在用户 和所有其他的用户二者 中的不同点，网络中在凸规划最优化运算法则和这个启发之间是小于5%，尺寸大于15。
B. 网络的分布启发
扩展的简单方法在[11]中，下面的是在显示在表达5中储运损耗比例约束下，在 网络中为生产量最大值化一个简单的迭代启发。简要地，启发使在表达5中的约束能起作用，重新明确了每个约束。例如，约束 变为 ，下一个，两边用 表示，两边都乘 ，约束能作为线性的平等系统被重写，这样能写成矩阵形式 。这样，最初的能量矢量 可以随意选择，下一个重申的是能量矢量 做为 的特征向量可以被计算出。这个启发变成了 特征向量的一个次序问题，这样容易通过计算解决。
Ⅸ  摘要
在无线单元和从讨论一个资源配置点来的 网络中考虑了多种 规定问题。这样的表达是非线性的问题，但是通过凸规划最优化能有效地解决。几何程序框架可能表达包括目标函数中的生产量和延迟二者，并允许许多普通的网络模式。均衡和极值公平法则也有可能的。仿真显示这些法则能用于允许控制和定价安排，这是基于相对的由于新的用户出现在网络资源应用上的干扰。另外，两个简单的单元和 网络中的启发是要点。
感谢
我们十分感谢在斯坦福大学的Nicholas Bambos 和Andrea Goldsmith，在UC伯克利的Li Zhong Zheng 提供了很多帮助性的建议。
参考